פתרון בגרות 807 קיץ 2016 – חקירה עם 3 בחזקת x (ללא סרטון)חקירת פונקציית e – 572 · שיעור 36
בגרות 5 יחידות · שאלון 035807 · קיץ 2016 מועד ב׳ · שאלה 4
שיעור 36 – פתרון בגרות 807 קיץ 2016 – חקירה עם 3 בחזקת x (ללא סרטון)
חקירת פונקציה מעריכית a בחזקת x
1נוסח השאלה
2סעיף א(1) – חיתוך עם הצירים
3סעיף א(2) – אסימפטוטה אופקית
4סעיף א(3) – נקודות קיצון
5סעיף א(4) – סקיצה
6סעיף ב – שטח
7סעיף ג – הזזה
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 9x − 2 · 3x − 3 המוגדרת לכל x.
א. (1) מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
(2) מצא את האסימפטוטה האופקית לגרף הפונקציה.
(3) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבע את סוגן.
(4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצא את השטח מימין לציר ה־y , המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה־y ועל ידי האסימפטוטה האופקית. תוכל להשאיר ln בתשובתך.
ג. נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + 4 . השטח שמצאת בסעיף ב שווה לשטח מימין לציר ה־y , המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) , על ידי ציר ה־y ועל ידי הישר y = k . מהו הערך של k ? נמק.
סעיף א(1) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y – נציב x = 0 :
f(0) = 90 − 2 · 30 − 3 = 1 − 2 − 3 = −4
ציר ה־x – נציב y = 0 :
9x − 2 · 3x − 3 = 0
סעיף א(1) – חיתוך עם הצירים · המשך
9x − 2 · 3x − 3 = 0
9x = (32)x = (3x)2
📐 חזקה של חזקה
נסמן t = 3x (ו־t > 0):
t2 − 2t − 3 = 0
📐 חזקה של חזקה
(am)n = am · n
סעיף א(1) – חיתוך עם הצירים · המשך
t2 − 2t − 3 = 0
פירוק לגורמים: מה כפול מה שווה −3 , ומה ועוד מה שווה −2 :
(t − 3)(t + 1) = 0
t = 3 , t = −1
סעיף א(1) – חיתוך עם הצירים · המשך
t = 3 , t = −1
t = −1 נפסל, כי 3x > 0 תמיד.
3x = 31 ⇒ x = 1
📐 משוואה עם בסיסים שווים
✅ פתרון סופי: (0 , −4) , (1 , 0)
📐 משוואה עם בסיסים שווים
af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x)
סעיף א(2) – אסימפטוטה אופקית
כאשר x → −∞ :
9x → 0 , 3x → 0
f(x) → 0 − 0 − 3 = −3
כאשר x → ∞ הערכים שואפים ל־∞.
סעיף א(2) – אסימפטוטה אופקית · המשך
כאשר x → ∞ הערכים שואפים ל־∞.
✅ פתרון סופי: y = −3
סעיף א(3) – נקודות קיצון
f′(x) = 9x · ln 9 − 2 · 3x · ln 3
📐 נגזרת של ax
ln 9 = ln 32 = 2 ln 3
📐 לוגריתם של חזקה
f′(x) = 2 ln 3 · 9x − 2 ln 3 · 3x
נכתוב 9x = 3x · 3x ונוציא גורם משותף 2 ln 3 · 3x :
📐 נגזרת של ax
(ax)′ = ax · ln a
📐 לוגריתם של חזקה
ln an = n · ln a
סעיף א(3) – נקודות קיצון · המשך
נכתוב 9x = 3x · 3x ונוציא גורם משותף 2 ln 3 · 3x :
f′(x) = 2 ln 3 · 3x · (3x − 1)
נשווה ל־0. 3x > 0 ו־ln 3 > 0 , ולכן:
3x − 1 = 0
📐 נקודת קיצון
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
סעיף א(3) – נקודות קיצון · המשך
3x − 1 = 0
📐 נקודת קיצון
3x = 30 ⇒ x = 0
📐 משוואה עם בסיסים שווים
מסעיף (1): f(0) = −4.
סוג הנקודה – נציב x = −1 ו־x = 1 בנגזרת:
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 משוואה עם בסיסים שווים
af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x)
סעיף א(3) – נקודות קיצון · המשך
סוג הנקודה – נציב x = −1 ו־x = 1 בנגזרת:
f′(−1) = 2 ln 3 · 3−1 · (3−1 − 1)
f′(−1) = 2 ln 3 · 13 · (−23) < 0
📐 עלייה וירידה
f′(1) = 2 ln 3 · 31 · (31 − 1)
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
סעיף א(3) – נקודות קיצון · המשך
f′(1) = 2 ln 3 · 31 · (31 − 1)
f′(1) = 2 ln 3 · 3 · 2 = 12 ln 3 > 0
| x | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| f′(x) | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | min | ↗ |
✅ פתרון סופי: min (0 , −4)
סעיף א(4) – סקיצה
הגרף בכחול והאסימפטוטה y = −3 באפור מקווקו. בצד שמאל הגרף מתחת לאסימפטוטה ומתקרב אליה.
✅ פתרון סופי: ראו סרטוט
סעיף ב – שטח
השטח נמצא בין הגרף (למטה) לאסימפטוטה y = −3 (למעלה), מציר ה־y ועד הנקודה שבה הגרף פוגש את האסימפטוטה:
9x − 2 · 3x − 3 = −3
3x · (3x − 2) = 0
3x = 2 ⇒ x = ln 2ln 3 ≈ 0.63
📐 כשהנעלם בחזקה
📐 כשהנעלם בחזקה
ax = b ⇒ x = ln bln a
סעיף ב – שטח · המשך
3x = 2 ⇒ x = ln 2ln 3 ≈ 0.63
📐 כשהנעלם בחזקה
S = ∫0ln 2ln 3 [−3 − f(x)] dx
📐 שטח בעזרת אינטגרל
S = ∫0ln 2ln 3 (2 · 3x − 9x) dx
F(x) = 2 · 3xln 3 − 9xln 9
📐 אינטגרל של ax
📐 כשהנעלם בחזקה
ax = b ⇒ x = ln bln a
📐 שטח בעזרת אינטגרל
S = ∫ab [f(x) − g(x)] dx
f(x) הגרף העליון
f(x) הגרף העליון
📐 אינטגרל של ax
∫ ax dx = axln a + C
סעיף ב – שטח · המשך
F(x) = 2 · 3xln 3 − 9xln 9
📐 אינטגרל של ax
בגבול העליון 3x = 2 ולכן 9x = 4 . נציב, עם ln 9 = 2 ln 3 :
F(ln 2ln 3) = 2 · 2ln 3 − 42 ln 3 = 2ln 3
נציב x = 0 :
📐 אינטגרל של ax
∫ ax dx = axln a + C
סעיף ב – שטח · המשך
נציב x = 0 :
F(0) = 2 · 30ln 3 − 902 ln 3 = 1.5ln 3
S = 2ln 3 − 1.5ln 3 = 12 ln 3
📐 ניוטון־לייבניץ
S ≈ 0.46
📐 ניוטון־לייבניץ
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
סעיף ב – שטח · המשך
S ≈ 0.46
השטח הוא החלק הקטן שבין הגרף הכחול לקו המקווקו, מימין לציר ה־y.
✅ פתרון סופי: S = 12 ln 3 ≈ 0.46
סעיף ג – הזזה
g(x) = f(x) + 4 היא הזזה של הגרף של f ב־4 יחידות למעלה. כל הצורה זזה למעלה, וגם האסימפטוטה:
y = −3 + 4 = 1
השטח שבין g , ציר ה־y והישר y = 1 הוא בדיוק השטח מסעיף ב שהוזז למעלה, ולכן הוא שווה לו. כל ערך אחר של k משנה את גודל השטח.
✅ פתרון סופי: k = 1
📌 סיכום התשובות
א(1)
(0 , −4) , (1 , 0)
א(2)
y = −3
א(3)
min (0 , −4)
ב
S = 12 ln 3 ≈ 0.46
ג
k = 1
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא